Finite element solution of quasistationary nonlinear magnetic field

The computation oj quasistalionary nonhnear two-dimensional magnetic jield leadslo thejollowingproblem There is given a bounded domain Q and an open nonempty set R <= Q We are looking jor the magnetic vectorpotentialu(xu x2, t) which satisjies 1) a certain nonhnear parabolic équation and_an initial condition in R , 2) a nonhnear elhptic équation in S ~ O. — R which is the stationary case of the above mentioned parabolic équation, 3) a boundary condition on ÔQ,, 4) u as well as its conormal denvative are continuous accross the common boundary oj R and S This problem is jormulated in two equivalent abstract ways There is constructed an approximate solution completely discretized in space by a gênerahzed Galerkin method {straight finite éléments are a special case) and by backward A stable dijjerentiaîion methods in time Existence and unique ness oj a weak solution isproved as well as a weak and strong convergence oj the approximate solution to this solution There are also denved error bounds jor the solution oj the two-dimensional nonhnear magnetic jield équations under the assumption that the exact solution is sujjiciently smooth Résume — Le calcul d un champ magnétique quasi stationnaire non lineaire en dimension deux conduit au problème suivant Etant donne un domaine borne Q et un ensemble ouvert non vide R <= O on cherche le potentiel vecteur magnétique u(xx x2i t) qui satisjait 1) une certaine équation parabolique non lineaire et une_conditwn initiale dans R , 2) une équation elliptique non lineaire dans S = Q — R qui est le cas stationnaire de l équation parabolique ci-dessus, 3) une condition aux limites sur dQ., 4) u de même que sa dérivée conotmale sont continus a travers lajrontiere commune a R et S Ce problème est énonce de deux jaçons abstraites dijjerentes On construit une solution approchée complètement discretisee en espace par une methode de Galerkin généralisée (les éléments finis droits sont un cas particulier) et par des methodes Astables de dérivation « arrière » en temps L existence et l unicité d une solution jaible sont établies ainsi que les convergences jaible et jor te de la solution approchée vers cette solution On obtient également des majorations d erreur pour la solution des équations du champ magnétique non lineaire a deux dimensions sous l hypothese de la solution exacte est sujjisamment reguliere (*) Received m February 1981 () Laborator Pocitacich Strojû, Tnda Obrancû Miru 21, 60200 Brno, Tchécoslovaquie R A I R O Analyse numenque/Numencal Analysis, 0399-0516/1982/161/$ 5 00 © Bordas Dunod